[일반물리학] PPT 개념정리

• 에너지(Energy)
• 에너지/일=(에너지/작용) x (작용/일)

 

1. 역학 - 힘과 운동

• 중력(질량), 추진력(단위시간당 배출하는 기체의 양과 속력), 양력(물체를 위로 띄우는 힘, 속도에 비례, 모양이 중요), 항력(이동 시 앞의 공기가 가로막는 힘, 속도에 비례)

 

• 운동이란? 
  
  • 변위: 물체의 위치 변화량
  • 속도, 속력 
  • 가속도
  • 시간
  • 벡터 :
    • 크기와 방향 : 
    • 좌표와 성분 : 

벡터합은 항끼리 더함, 벡터 내적(.으로 표현)은 항끼리 곱함>❘a❘*❘b❘ cosθ가 되네요. 외적은 3차원공간까지 확장된 것으로 신발끈공식을 이용해 풉시다.sinθ 이용하면 ❘a❘*❘b❘sinθ 근데 외적은 사실 ((a2b3−a3b2) ,  (a3 b1− a1b3) , ( a1b2−a2 b1)) 으로 계산해도 됨~~ 암기는 23 31 12 순으로 2부터 오른쪽으로 간다고 외워보자~

 

• 내적은 교환법칙 성립, 외적은 교환법칙 성립하지 않음, 내적은 2차원에서도 정의 가능, 외적은 3차원에서만 정의 가능

• 벡터에 대한 수학적 고찰
  • 벡터장(vector field) :
    • 중력장:
    • 전기장:
      자기장:
  • 벡터공간 (vector space):
    • 단위벡터, 기저벡터
    • 차원
    • 사영
• 자유낙하운동 : 질량에 상관없이 지상에 도달하는 시간은 같음(중력이 질량에 비례하여 모든 물체에 작용한다"는 사실 제외하고 설명?
  • 자유 낙하하는 공의 초기속력은 V0=0 이고 a=g(중력가속도) 인 등가속도 운동을 하고 있음(t초의 시간이 지난 후 속력은 v=gt. 등가속도 운동이므로 평균 속력=1/2gt. 

자유낙하운동: 물체가 공기저항 받지 않고 중력만을 받음. 속력은 매 초 9.8m/s씩 증가

가속도 a=중력가속도 g

 

• 포사체의 운동

초속도 : 운동의 시작점에서의 물체 속도 . y방향의 초속도는 v_0sinθ

• 포물체/포사체 ;
  • 그 궤적이 포물선을 그리는 물체, 포사체 궤적=포물선.
  • 포물선 운동 or 포물체/포사체 운동 : 두 성분(등속운동:수평, 등가속도운동: 수직) 이 합해져 방향이 변하는 운동
  • 지배하는 힘이 중력뿐. 위치에 따라 변하지 않는 중력가속도 존재
  • 정확한 예측 가능(공기저항,지구자전 무시)
  • 예측위치는 초기조건(초기변위, 초기속도)에 의함.

• 힘이란?
  • 운동의 원인 : 눈에 보이는 물체(질량, 위치, 시간,속도, 가속도...)
  • 눈에 보이지 않는 힘
  • 힘의 작용
• 뉴턴의 법칙
  • 1법칙(관성의 법칙) : 관성계 - 물체의 질량 중심은 외부 힘이 작용하지 않는 한 일정한 속도로 움직인다. (버스 안 사람)

• 관성좌표계

두 관성계에서 동일한 속도를 갖는 것 불가 : V!=0이면 VA랑 VB 다름

- 속도는 무한히 커질 수 있음: "최대 속도" or "속도상한" 없음

• 2법칙(운동의 법칙): 벡터미분방정식, 관성질량과 중력질량 - 물체의 운동량의 시간에 따른 변화율은 그 물체에 작용하는 알짜외부힘과 (크기와 방향에 있어) 같다. 

m은 관성질량, 운동을 방해하는 역할
F는 외부에서 이 질량 m에 작용하는 힘의 벡터합(vector sum) / 중력, 자기력, 전기력 등 모든 힘이 다 될 수 있다.
우리가 관심있는 경우: F=0이거나 F=-kx와 같은 Hooke의 힘(복원력)이 작용하는 경우.
 

• 중력의 운동방정식(3차원 미분방정식)

질량이 각각 m, M이고 물체간 거리가 r일 떄.

이 방정식의 해는 2차곡선(원, 타원, 포물선, 쌍곡선)으로 주어짐(중력질량=관성질량)
 

• 미분방정식 (=운동방정식)은 미지의 함수, 도함수, 이 함수들의 함수값에 관계된 여러 개의 변수들에 대한 수학적 방정식.
• 미분방정식의 계수: 미분 횟수가 가장많은 독립 변수의 계수가 결정지음, 차수는 계수를 결정지은 독립변수의 미분꼴이 거듭제곱된 횟수에 따라 결정.
• 뉴턴의 운동법칙은 물체의 미지의 위치를 시간에 대한 함수로 표현, 물체의 위치, 속도, 가속도, 물체에 작용하는 힘 등을 함수에 대한 미분 방정식으로 나타냄 > 변량들을 역학적으로 표현. 숫자가 아니라 함수가 답이 된다.

3,4번 먼소리야 ? 알아보기

 

• 3법칙(작용-반작용의 법칙): 선운동량, 물체계, 질량중심 - 물체 A가 다른 물체 B에 힘을 가하면 물체 B는 물체 A에 크기는 같고 방향은 반대인 힘을 동시에 가함.

 

• 벡터 vs 스칼라
  • 스칼라: magnitude(규모),크기가 있음, 점 only  ex.질량, 시간, 온도, 전압, 전하,속력, 부피(m^3)
  • 벡터: magnitude and direction  ex.변위, 힘, 속도, 전계, 자기장

• 벡터의 성분: 벡터=좌표.

 
 

• 벡터의 연산
  • 합

• 곱 : 스칼라 x 벡터

• 내적

내적은 교환법칙 성립, 2차원에서도 정의 가능

commutative : 제시된 수의 순서에 상관없이 결과 동일 , distributive : 분배법

 

• 외적(cross product, outer product)

외적은 교환법칙 성립 x, 외적은 3차원에서만 정의할 수 있음.

• 오른손법칙: A*B의 결과인 외적벡터는 벡터 A를 향해 손을 뻗은 후 벡터 B쪽으로 오므려줄 때 오른손의 엄지손가락이 가리키는 방향. 그 벡터는 두 벡터 A,B에 동시에 수직! 

 
 

(1) 힘이란 무엇인가? 

• 운동의 원인
  • 눈에 보이는 물체(질량, 위치, 시간,속도, 가속도, 시간 등)
  • 눈에 보이지 않는 힘 (힘, 상호작용)
  • 힘의 작용 (단위 질량당 힘, 단위 전하당 힘)
• 뉴턴의 법칙
  • 제1법칙 (관성의 법칙) :관성계- 물체의 질량 중심은 외부 힘이 작용하지 않는 한 일정한 속도로 움직인다.
  • 제2법칙 (운동의 법칙): 벡터미분방정식, 관성질량과 중력질량- 물체의 운동량의 시간에 따른 변화율은 그 물체에 작용하는 알짜힘과 (크기와 방향에 있어서) 같다.

• 제3법칙 (작용-반작용의 법칙): 선운동량, 물체계, 질량중심 - 물체 A가 다른 물체 B에 힘을 가하면, 물체 B는 물체 A에 크기는 같고 방향은 반대인 힘을 동시에 가한다.

• (2) 마찰력(최대정지마찰력, 운동마찰력)

 

• 중력

-중력(질량과 질량이 서로 당기는 힘)

여기서 m들은 중력질량으로 힘을 만드는 원인. 나중에 운동방정식의 m과 비교하여 같은 물리량이라고 가정>> 아인슈타인의 일반상대론 얻을 수 있음.
 

• 전기력

-전기력(전하와 전하가 서로 밀거나 당기는 힘)

• 자기력

-(자석과 자석이 서로 밀거나 당기는 힘) = (전류와 전류가 서로 밀거나 당기는 힘)

 

2. 마찰이란 무엇인가? 

*시험문제 많이 나오는 part, 도르래문제 많이 나옴!!중요
 

• 마찰력 - 수직항력 - 마찰계수
  • Q. 테이블에 가만히 있는 물체의 운동을 서술하시오.
  • A. 두 개의 힘이 가해짐(중력과 수직항력)
  • 장력(T) : 줄에 의해 전달되는 힘, 질량 무시, 길이가 늘어나거나 줄어들지 않음.*보통의 역학 문제에서 T는 상쇄되어 구할 필요 X, 물체별로 운동방정식(F=ma) 풀게 된다.

최대정지마찰력, 운동마찰력

 
 

• 마찰력: 마찰계수 * 수직항력

 

*시험문제 단위 조심!!
 
<시험문제>
 
Q. 물체의 중력을 쪼개서 방향별로 벡터로 나타내시오.  
Q. 수직항력크기, 방향을 표시하시오.
 

 

비탈에서 힘의 분할(벡터의 성분)

 
 

• 도르래

*고정도르래는 도르래가 고정, 움직도르래는 줄이 고정

• 도르래에서의 힘의 균형 : 도르래 축에 걸린 힘 F와 줄의 양쪽 끝에 걸린 힘의 합이 같을 때 도르래는 평형상태(일정한 위치에서 움직이지 않는다) 가 된다. 이러한 평형상태에서는 줄에 걸린 장력(tension)이 동등하게 되므로, 줄의 양쪽 끝에 걸린 힘은 같게 되고 따라서 한쪽 줄의 끝에 걸리는 힘은 F/2가 된다.
• 단순움직도르래  :한 개의 움직도르래를 사용하여 줄의 한쪽 끝을 벽에 단단히 고정> 도르래의 축에 걸린 힘 F에 비해 절반의 힘인 F/2의 힘만으로도 평형상태에 이룰 수 있음> 보다 적은 힘으로 물체 이동할 수 있게 해준다.

고정도르래는 온 힘 다 받고 1m움직이지만 움직도르래와 복합도르래는 2m 움직이는 대신 힘 반절로 줄어듦.

• (가): 고정도르래 / 힘의 이득 x/ 물체를 들어올리는 힘은 줄 하나가 지탱하고 있음>직접 들어올리는 것과 같이 힘의 이득 x, 고정도르래로 인해 줄을 당기는 힘의 방향만 바뀜.(팔을 내려서 물체 드는 게 더 편하고 방향도 원하는 데로 바꿀 수 있긴 하지..) / 1m올리려면 줄도 1m만 잡아당기면 된다. ->힘 동일, 일 동일
  
  
• (나) : 움직도르래 / 힘의 이득 o /도르래 축에 직접 물체 지탱, 줄을 당기면 물체와 함께 도르래 축의 위치도 움직인다. / 움직도르래 사용하려면 줄을 감고 물체를 들어올림 > 물체 지탱하는 줄이 2가닥이 된다. 물체의 무게만 고려하면 두 줄의 합력이 물체의 무게 지탱하는 힘과 같음 > 나란한 각 줄에 걸리는 힘은 물체 무게의 1/2. (물체 무게가 각 줄에 분산) / 물체를 1m 들어올리기 위해 당겨야 하는 줄의 길이는 물체가 올라가는 높이의 2배인 2m(물체가 1m올라갈 때 물체를 지탱하는 두 줄도 동시에 1m씩 움직여야 하므로 도르래를 통해 줄을 당기는 쪽으로 감기게 된다. -> 힘 이득, 일 동일 , 움직도르래 n개가 연결 : F=F0/(n+1)

복합도르래의 개수가 많아질수록 당기는 길이는 개수에 비례해서 늘어남. 도르래의 개수만큼 힘도 분산됨. F/n(도르래개수)만큼 듦.

 

(가), (나)와 같은 연결방식이 (다), (라)와 같은 연결방식보다 힘의 효과가 더 크다. 
(가),(나)는 각 도르래에 걸리는 힘이 무게의 (1/2)^n(움직도르래 개수)로 감소하지만 (다),(라)는 물체를 지탱하는 전체 줄의 수만큼 힘이 줄어듦. (다)>(마) 변형 가능.
 

(3) 1차원에서의 일

• 일(work) = 힘(force)와 변위(x)의 내적(inner product)

 
힘-일-에너지의 상호관계

• 힘(force, N) = 질량(mass, kg) * 가속도(acceleration ,m/sec^2)
• 일(work, J)=힘(N) * 거리(m)
• 역학적 에너지(J) : 운동에너지, 포텐셜에너지
• 열역학 및 통계물리학(많은 입자) : 입자계의 에너지(내부에너지, 열, 자유에너지)
  • 엔트로피
  • 일률(power, W)=일(J) / 시간(sec)=전류(A)*전압(V)

용수철(spring)

• 단순(조화)진동자(sine cosine 함수)
• 복원력: F = -kx
• 용수철의 포텐셜에너지 : 1/2 kx^2

 

2차원에서의 일

• 보존장으로서의 중력장

1. 일-운동에너지 정리

• 물체가 한 일과 운동에너지 변화량과의 관계를 나타낸다.
• 물체의 운동에너지 변화 = 물체에 작용하는 힘이 한 일

2. 일-운동에너지 정리 표현식

• 계(system)가 행한 일은 그 계의 운동에너지의 변화량과 같다.

 
 

• 충돌 : 두 물체 사이 상호작용을 고려하지 않고 운동E만 고려한다. 어떤 경우에도 운동량이 보존된다.
• 선운동량
• 충격량 : 물체가 충돌할 때 받는 힘

1차원 충돌

• 완전 비탄성 충돌
  • 운동량 보존의 법칙 성립
  • 운동에너지 보존의 법칙 비성립
• 탄성충돌
  • 운동량 보존의 법칙 성립
  • 운동에너지 보존의 법칙 성립
• 비탄성충돌

 

로케트 운동

• 로켓 기술하는 방법은 반드시 운동량 보존의 법칙을 적용해야 한다.

*추진력 =연료분사속도(m/s) * 초당 연료분사량(kg/s)